برای حل این مسئله، از معادلهی درجه دوم زیر استفاده میکنیم:
\[ x^2 - qx + 2 = 0. \]
یکی از ریشههای این معادله ۲ برابر دیگری است. فرض کنیم ریشهها \( r_1 \) و \( r_2 \) باشند و طبق گفته مسئله \( r_1 = 2r_2 \) باشد.
میدانیم:
1. جمع ریشهها:
\[ r_1 + r_2 = q. \]
2. حاصلضرب ریشهها:
\[ r_1 \times r_2 = 2. \]
با استفاده از \( r_1 = 2r_2 \)، میتوانیم مقدار \( q \) را بیابیم:
از حاصلضرب ریشهها:
\[ 2r_2 \times r_2 = 2 \]
\[ 2r_2^2 = 2 \]
\[ r_2^2 = 1 \]
\[ r_2 = \pm 1. \]
اگر \( r_2 = 1 \) باشد، آنگاه:
\[ r_1 = 2 \times 1 = 2. \]
و اگر \( r_2 = -1 \) باشد، آنگاه:
\[ r_1 = 2 \times (-1) = -2. \]
به ازای \( r_2 = 1 \) و \( r_1 = 2 \):
\[ q = r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3. \]
به ازای \( r_2 = -1 \) و \( r_1 = -2 \):
\[ q = r_1 + r_2 = -2 - 1 = -3. \]
بنابراین، مقدار \( q \) میتواند ۳ یا -۳ باشد. اکنون جواب دیگر معادله در هر دو حالت به شرح زیر است:
1. در حالت \( q = 3 \): ریشهها ۲ و ۱ هستند.
2. در حالت \( q = -3 \): ریشهها -۲ و -۱ هستند.
بنابراین جوابها برای هر حالت به ترتیب میتوانند ۲ و -۲ باشند.
